Z. Vörös, D. Jankovičová, P. Dolinský, F. Valach
Geofyzikálny ústav SAV, Hurbanovo, geomag @geomag.sk
 
 
 

Abstrakt
Ciežom tejto práce je poukáza na opodstatnenos použitia niektorých nelineárnychmetód pre klasifikáciu a predpoveď magnetosférickej odozvy. Geomagnetické fluktuácie na časovej škále subbúrok a búrok sme modelovali pomocou multiplikatívneho P-modelu. Odlišnú dynamiku vykazujú fluktuácie na menších časových škálach. Predpoveď priebehu Dst indexu pomocou neurálnych sietí ukazuje, že viac než 70% variácií Dst indexu sú reprodukovatežné zo zmien dvoch hlavných komponentov vysvetžujúcich podstatnú čas fluktuácií parametrov v slnečnom vetre.
 

1. ÚVOD

     Časové rady získavané na geomagnetických observatóriach, ako aj na umelých družiciach, reprezentujú komplexný priebeh rôznych lineárnych ale aj nelineárne viazaných fyzikálnych procesov. Tieto procesy väčšinou prebiehajú aj na rôznych časových a priestorových škálach a dynamika vežkoškálových procesov často určuje priebeh mikroprocesov a naopak. V dôsledku tejto rozmanitosti prispievajúcich fyzikálnych zdrojov, typické variácie meratežných fyzikálnych veličín vykazujú okrem kvázi-periodických zmien aj fluktuácie neperiodické so spojitým spektrom, ktoré sú najčastejšie považované za biely alebo farebný šum (Takalo et al., 1993). V skutočnosti, fluktuácie meratežných veličín môžu by užitočným zdrojom informácie pri klasifikácii alebo predpovede jednotlivých fyzikálnych procesov a ich príčin, hlavne ak okrem tradičného popisu druhého rádu (spektrálna analýza, korelácie) uvažujeme aj iné, nelineárne charakteristiky časových radov alebo analyzujeme nelineárne väzby medzi nimi.
     V tejto práci v krátkosti načrtneme podstatu multifraktálového prístupu pri analýze fluktuácií GMP a pomocou neurálnych sietí zavedieme metódu nelineárnej predikcie indexu Dst.

2. MULTIFRAKTÁLOVÝ PRÍSTUP

     Na rozdiel od spektrálnej analýzy, multifraktálový prístup umožňuje charakterizova časové rady z hžadiska ich singularít a. Singularitu v bode Xo definujeme ako (Muzy et al., 1993):

kde B_Xo(h ) symbolizuje kruh s centrom v bode Xo, polomeru h;  m je miera definovaná vždy na základe konkrétnej fyzikálnej situácie. Ak napr. m je pravdepodobnostná miera, tak mvyjadruje pravdepodobnos istej hodnoty v uvažovanom priestore alebo čase a rovnica (1) vyjadruje mocninový zákon, ktorým sa m riadi pri zmene rozlíšenia h . Exponent a charakterizuje singularitu fluktuácií m v bode Xo (jednoduchšie, ale menej presne povedané "kostrbatos" časového radu v čase t).
     Lepšie pochopíme tento formalizmus na konkrétnom prípade geomagnetických fluktuácií.
     Analyzujeme 1-minútové priemery variácie H-zložky z geomagnetického observatória THULE z obdobia 1994-1997 (2 102 400 minutových hodnôt). V prvom kroku, transformáciami (2-5) definujeme pravdepodobnostnú mieru s (j) z časového radu zložky H GMP:

kde t je časový posun a rovnica (2) reprezentuje hornopriepustný filter; rovnica (3) je prebratá z teórie turbulencie (niekedy sa používa druhá mocnina, ktorá je úmerná energii signálu); rovnica (4) je normalizácia; a (5) môžeme považova za pravdepodobnostnú mieru. Kostrbatos alebo mieru diferencovatežnosti fluktuácií s (j) chceme charakterizova v každom bode exponentom a (j) (1). V prípade tzv. multifraktálovej miery sa a mení z bodu na bod a tzv. Hausdorffova (fraktálna) dimenzia f(a ) poskytuje geometrický popis podmnožín s(j) s rovnakou hodnotou a(j). Zo štatistického hžadiska f(a ) môžeme považova za rozdežovaciu funkciu singularít a. f(a) vlastne udáva počet podmnožín N(a) s rovnakým apri rozlíšení (škále) h (Tél, 1988):

     Na Obr. 1a sme písmenom A  označili spektrá singularít, ktoré zodpovedajú fluktuáciam magnetosférického pôvodu, a písmenom B spektrá, ktoré charakterizujú fluktuácie so zdrojom v slnečnom vetre (Vörös, In Press). Prechod (spektrálny zlom) z podmnožiny A do B pri t=100 – 300 [min] bol známy aj zo spektrálnej analýzy indexov AE (Tsurutani et al., 1990).
     Na Obr. 1b máme tiež dve skupiny kriviek. Prvá skupina, pre T< 15 [min] a f(a )ť 1 pre všetky hodnoty a, zodpovedá priamej disipácii energie v magnetosfére. Druhá skupina kriviek kvázi-parabolického tvaru, pre T>15 [min], popisuje fluktuácie GMP súvisiacich s predbežnou akumuláciou energie v magnetosférickom chvoste a následnou búrlivou disipáciou energie v rôznych oblastiach magnetosféricko- ionosférického systému (loading-unloading). Aj tento prechod medzi rôznymi režimami disipácie energie bol známy z lineárnej analýzy, konkrétne z aplikácie lineárnych filtrov pri výskume magnetosférickej odozvy (Bargatze et al., 1985). Vysvetlíme to tak, že rovnica (5) vypočítaná pre rôzne hodnoty T napodobňuje lineárne filtre dané vzahom: O(t)=S_jH(j)I(t-jdt); kde I(t), O(t) sú hodnoty na vstupe (parameter zo slnečného vetra) a výstupe (magnetosférický parameter) a H(j) je samotný filter.
     Vyvstáva otázka, aké dodatočné, pre lineárnu analýzu neprístupné, informácie sa dajú ešte z Obr. 1a, b vyčíta. Hlavne z Obr. 1b je vidie, že na časovej škále subbúrok a búrok (T>15 [min]) majú krivky parabolický tvar. Je možné modelova multifraktálové spektrá takéhoto tvaru pomocou tzv. nelineárneho P-modelu, daného vzahom (Halsey et al., 1986):
 

kde w je vožný parameter. Tento 1D model v teórii turbulencie popisuje procesy, v ktorých tok energie y_{L ,} definovaný na úsečku dĺžky L, kaskádovite prúdi do rozmerov 2xL/2, 4xL/4, ..., atď. V prvom kroku y_L je rozdelený na čiastky y_{L .} p1 a y_L . p2 medzi dve úsečky dĺžky L/2 s pravdepodobnosou p1 a p2, pričom p1+p2=1. V ďalších krokoch sa rozdvojenie úsečiek opakuje. Celkový tok energie na každej ”škále” NxL/2^N sa nemení, ale na každej individuálnej úsečke, dĺžky L/2^{N, je tok energie úmerný istej multiplikatívnej kombinácii parametrov p1 a p2. Parameter p ? p1=1-p2} určuje charakter prenosu energie medzi škálami. Ak p=p1=p2=0.5 prenos energie je homogénny, kým p>0.5 generuje výsledné pole, ktoré je intermitentné so spektrom singularít (a,f(a ); vzorce 7,8).
     Na Obr. 1b je P-model parabolického tvaru. Fitovaný parameter p má hodnotu 0.790 ą0.005 a je zvýraznený hrubšou čiarou v rovine (a,f(a ), T=0 resp. T=3000 [min]). Z obrázku je zrejmé , že napriek jeho jednoduchosti, P-model je vhodným nástrojom pre modelovanie energetických procesov na časovej škále subbúrok a búrok (T>15 [min]). Na druhej strane procesy súvisiace s priamou disipáciou energie (T<15 [min]) sa nedajú opísa multiplikatívnym modelom prenosu energie.
     Ďalšiu klasifikáciu umožňujú malé odchýlky (a,f(a )) kriviek od parabolického tvaru ako je to znázornené na Obr. 1a. Odchýlky sa dajú vysvetli uvažovaním viacerých od seba nezávislých multiplikatívnych procesov (Radons and Stoop, 1996), t.j. fyzikálne procesy, sú v princípe rozlíšitelné na základe ich spektier singularít.
     Najdôležitejší záver aplikovania multifraktálového prístupu je však ten, že na rozdiel od iných stochastických procesov, ktoré sa dajú charakterizova jedným singulárnym exponentom a, na adekvátny popis fluktuácií GMP je nutné zavies celé spektrum singularít.

3. NEURÁLNE SIETE AKO NELINEÁRNY MODEL

     Predpovede magnetických búrok, na základe parametrov slnečného vetra získaných satelitnými pozorovaniami, sú jedným z dôležitých ciežov v rámci výskumu kozmického počasia.V našej práci sme použili časové rady vlastností slnečného vetra, získané satelitom ACE. Niektoré z týchto parametrov, hlavne n,v, Bz kontrolujú vežkú čas geomagnetickej aktivity (n – koncentrácia častíc slnečného vetra, v – rýchlos slnečného vetra, Bz – severo-južná zložka medziplanetárneho magnetického poža ).
     Počet riadiacich parametrov môže by aj väčší a vzhžadom na to, že nepoznáme ich počet a vlastnosti, v prvom kroku, pomocou analýzy hlavných komponentov, sa pokúsime urči takú lineárnu kombináciu týchto parametrov, ktorá vysvetžuje najväčšiu čas variácií slnečného vetra.
     Hlavnou myšlienkou analýzy hlavných komponentov je popis rozptylu p-bodov v N-dimenzionálnom priestore zavedením nového súboru ortogonálnych lineárnych súradníc tzv.hlavných komponentov. Prvý hlavný komponent je taký, kde projekcia daných bodov naň má maximum variácie spomedzi všetkých možných lineárnych súradníc, druhý komponent má maximum variácie v smere kolmom na prvý atď. Geometrická interpretácia analýzy hlavných komponentov je nasledovná. Hlavné komponenty predstavujú osi koncentrických elipsoidov umiestnených v tažisku vzorky bodov. Tieto elipsoidy môžeme popísa kvadratickou formou

                                                                            _                     _

kde c>0, S-kovariančná matica, X-matica dát p x N (p-počet vzoriek, N-počet meraných parametrov) (Rayment et al., 1996).
     Výsledky tejto analýzy sme použili pri modelovaní magnetických búrok, charakterizovaných Dst indexom, pomocou nelineárnej metódy neurálnych sietí.
     Model neurálnych sietí (NN) je založený na schopnosti uči sa vzahy medzi vstupmi a výstupmi. Použili sme multivrstvový model neurálnych sietí, ktorý predstavuje zobrazenie
 

     Skladajú sa zo vstupnej vrstvy s N vstupmi, jednej skrytej vrstvy s q jednotkami a jednej výstupnej vrstvy s m výstupmi. Výstup tohto modelu možno vyjadri ako

                                                                                                         _{q                   N}

[Norgaard, 1997], kde W_mj^(a) sú váhy medzi j a m jednotkami vstupu a skrytej vrstvy a W_jl^(b) váhy medzi skrytou vrstvou a výstupom. Aktivačná funkcia F_m(x) je lineárna a f_j(x) nelineárna ( tu f(x)=tanh(x) ). Pre daný časový súbor s vežkosou M definujeme normalizovanú strednú kvadratickú chybu

                                                                                                           _M

kde y^out predstavuje skutočný – daný výstup a y^pred výstup daný neurálnymi sieami. Ciežom je minimalizácia NMSE výberom vhodných váh na základe metódy poklesu gradientu

                                                                                                            _M

a priemernou relatívnou variáciou ARV (Casdagli, 1998; Weigend et al., 1992)

                                                                                                   _{M                                   M}

kde y^out je nameraný výstup, y^outmean je stredná hodnota nameraného výstupu, y^pred je predpovedaný výstup, y^predmean je stredná hodnota predpovedaného výstupu.
     Na analýzu sme použili časové rady parametrov slnečného vetra získaných z ACE satelitu a Dst indexu s rozlíšením Dt = 1 hod za obdobie 1998-1999. Vstupné časové rady sme normalizovali pomocou

Obr.2   a. Hlavný komponent pca1; b. pca2; c. normalizovaná kvadratická chyba; d. korelácia medzi indexom Dst a predpovedanou hodnotou Dst.

Obr.3 Ukážka predpovede Dst indexu na jeden krok dopredu, t.j. 1 hod. , súvislá čiara reprezentuje predpoveď
 

4. ZÁVER

     Uvedené nelineárne metódy prevyšujú lineárne postupy v tom zmysle, že poskytujú dodatočné, pre lineárnu analýzu neprístupné informácie o fyzikálnych procesoch, zároveň reprodukujú aj výsledky dosiahnuté pomocou lineárnych techník. Ich vhodná kombinácia môže upresni naše predstravy o dynamike magnetosféry.
 

POĎAKOVANIE

Práca bola pripravená v rámci projektu VEGA 2/6040/99.
 

LITERATÚRA

Akasofu, S. Chapman, S., Solar terrestrial physics, 1972,
Bargatze, L.F., Baker, D.N., McPherron, R.L., Hones, E.W., Magnetospheric impulse response for many levels of
     geomagnetic activity, J.Geophys.Res., 90, 6387, 1985,
Casdagli, M., Nonlinear prediction of chaotic time series, Physica D, 35, 335, 1989,
Halsey, T.C., Kadanoff, J.M.H., Procaccia, L.P., Shraiman, B.I., Fractal measures and their singularities, Phys.Rev.A, 33,
     1141, 1986,
Hernandez, J.V., Tajima, T., Horton, W., Neural net forecasting for geomagnetic activity, Geophys.Res. Lett., 20, 2707,
     1993,
Jacobs, J.A., Geomagnetism, Vol. 3, 1989,
Muzy, J.F., Bacry, E., Arneodo, A., Multifractal formalism for fractal signals, Phys.Rev.E, 47, 875, 1993,
Norgaard, M., Neural network based system identification toolbox, 1997,
Radons, G., Stoop, R., Superpositions of multifractals, J. Stat. Phys., 82, 1063, 1996,
Reyment, R., Jöreskog, K.G., Applied factor analysis in the natural sciences, 1996,
Rumelhart, D.E., Hinton, G.E., Williams, R.J., Learning representations by back-propagating errors, Nature, 323,533, 1986,
Takalo, J., Timonen ,J., Neural network prediction of the AE index from the PC index, Phys.Chem.Earth, 24, 89, 1999,
Takalo, J., Timonen, J., and Koskinen, H., Correlation dimension and affinity of AE data and bicolored noise,
     Geophys.Res.Lett., 20, 1527, 1993,
Tél, T., Fractals, multifractals and thermodynamics, Z. Naturforsch., 43a, 1154, 1988,
Tsurutani, B.T., Sugiura, M., Iyemori, T., Goldstein, B.E., Gonzalez,
W.D., Akasofu, S.I., Smith, E.J., The nonlinear response of AE to the IMF Bs driver, Geophys.Res. Lett.,17, 279, 1990,
Véhel, J.L. , Vojak, R., Multifractal analysis of Choquet capacities, Adv. Appl. Math., 20(1), 1, 1998,
Vörös, Z., Multifractal analysis of geomagnetic data, Revista Geofisica, 48, 77, 1988,
Vörös, Z., On multifractality of high latitude geomagnetic fluctuations, Ann. Geophysicae, In Press,
Weigend, A.S., Hubermand, B.A., Rumelhart, D.E., Predicting sunspots and exchange rates with connectionist networks, in
     Nonlinear Modeling and Forecasting, M. Casdagli and S. Eubanks, EDs. (Addison-Wesley, 1992).