Z. Vörös, D. Jankovičová, P. Dolinský,
F. Valach
Geofyzikálny ústav SAV, Hurbanovo, geomag @geomag.sk
Abstrakt
Cieľom tejto práce je poukázať na opodstatnenosť
použitia niektorých nelineárnychmetód
pre klasifikáciu a predpoveď magnetosférickej odozvy. Geomagnetické fluktuácie
na časovej škále subbúrok a búrok sme modelovali pomocou multiplikatívneho
P-modelu. Odlišnú dynamiku vykazujú fluktuácie na menších časových škálach.
Predpoveď priebehu Dst indexu pomocou neurálnych sietí ukazuje, že viac
než 70% variácií Dst indexu sú reprodukovateľné zo zmien dvoch hlavných
komponentov vysvetľujúcich podstatnú časť fluktuácií parametrov v slnečnom
vetre.
1. ÚVOD
Časové rady získavané
na geomagnetických observatóriach, ako aj na umelých družiciach, reprezentujú
komplexný priebeh rôznych lineárnych ale aj nelineárne viazaných fyzikálnych
procesov. Tieto procesy väčšinou prebiehajú aj na rôznych časových a priestorových
škálach a dynamika veľkoškálových procesov často určuje priebeh mikroprocesov
a naopak. V dôsledku tejto rozmanitosti prispievajúcich fyzikálnych zdrojov,
typické variácie merateľných fyzikálnych veličín vykazujú okrem kvázi-periodických
zmien aj fluktuácie neperiodické so
spojitým spektrom, ktoré sú najčastejšie považované za biely alebo farebný
šum (Takalo et al., 1993). V skutočnosti, fluktuácie merateľných veličín
môžu byť užitočným zdrojom informácie pri klasifikácii alebo predpovede
jednotlivých fyzikálnych procesov a
ich príčin, hlavne ak okrem tradičného popisu druhého rádu (spektrálna
analýza, korelácie) uvažujeme aj iné, nelineárne charakteristiky časových
radov alebo analyzujeme nelineárne väzby medzi nimi.
V tejto práci v krátkosti načrtneme
podstatu multifraktálového prístupu pri analýze fluktuácií GMP a pomocou
neurálnych sietí zavedieme metódu nelineárnej predikcie indexu Dst.
2. MULTIFRAKTÁLOVÝ PRÍSTUP
Na rozdiel od spektrálnej analýzy, multifraktálový prístup umožňuje charakterizovať časové rady z hľadiska ich singularít a. Singularitu v bode Xo definujeme ako (Muzy et al., 1993):
kde BXo(h ) symbolizuje kruh s
centrom v bode Xo, polomeru h; m
je
miera definovaná vždy na základe konkrétnej fyzikálnej situácie.
Ak napr. m je pravdepodobnostná miera, tak mvyjadruje
pravdepodobnosť istej hodnoty v uvažovanom priestore alebo čase a rovnica
(1)
vyjadruje mocninový zákon, ktorým sa m riadi
pri zmene rozlíšenia h . Exponent a
charakterizuje
singularitu fluktuácií m v bode Xo (jednoduchšie,
ale menej presne povedané "kostrbatosť"
časového radu v čase t).
Lepšie pochopíme tento formalizmus na konkrétnom
prípade geomagnetických fluktuácií.
Analyzujeme 1-minútové priemery variácie H-zložky
z geomagnetického observatória THULE z obdobia 1994-1997 (2 102
400 minutových hodnôt). V prvom kroku, transformáciami (2-5) definujeme
pravdepodobnostnú mieru s (j)
z časového radu zložky H GMP:
E(ti) = D H3 (ti) (3)
kde t je časový posun a rovnica (2) reprezentuje hornopriepustný filter; rovnica (3) je prebratá z teórie turbulencie (niekedy sa používa druhá mocnina, ktorá je úmerná energii signálu); rovnica (4) je normalizácia; a (5) môžeme považovať za pravdepodobnostnú mieru. Kostrbatosť alebo mieru diferencovateľnosti fluktuácií s (j) chceme charakterizovať v každom bode exponentom a (j) (1). V prípade tzv. multifraktálovej miery sa a mení z bodu na bod a tzv. Hausdorffova (fraktálna) dimenzia f(a ) poskytuje geometrický popis podmnožín s(j) s rovnakou hodnotou a(j). Zo štatistického hľadiska f(a ) môžeme považovať za rozdeľovaciu funkciu singularít a. f(a) vlastne udáva počet podmnožín N(a) s rovnakým apri rozlíšení (škále) h (Tél, 1988):
Obr. 1. Spektrá singularít odhadnuté z variácií zložky H GMP. a.) T=konšt.; b.) t =konšt.
Na Obr. 1a sme
písmenom A označili spektrá singularít, ktoré zodpovedajú fluktuáciam
magnetosférického pôvodu, a písmenom B spektrá, ktoré charakterizujú fluktuácie
so zdrojom v slnečnom vetre (Vörös,
In Press). Prechod (spektrálny zlom) z podmnožiny A do B pri t=100
– 300 [min] bol známy aj zo spektrálnej analýzy indexov AE (Tsurutani et
al., 1990).
Na Obr. 1b máme
tiež dve skupiny kriviek. Prvá skupina, pre T< 15 [min] a f(a
)» 1 pre všetky hodnoty a,
zodpovedá
priamej disipácii energie v magnetosfére. Druhá skupina kriviek kvázi-parabolického
tvaru, pre T>15 [min], popisuje fluktuácie
GMP súvisiacich s predbežnou akumuláciou energie v magnetosférickom chvoste
a následnou búrlivou disipáciou energie v rôznych oblastiach magnetosféricko-
ionosférického systému (loading-unloading).
Aj tento prechod medzi rôznymi režimami disipácie energie bol známy z lineárnej
analýzy, konkrétne z aplikácie lineárnych filtrov pri výskume magnetosférickej
odozvy (Bargatze et al., 1985). Vysvetlíme to tak, že rovnica (5) vypočítaná
pre rôzne hodnoty T napodobňuje lineárne filtre dané vzťahom: O(t)=SjH(j)I(t-jdt);
kde I(t), O(t) sú hodnoty na vstupe (parameter zo slnečného vetra) a výstupe
(magnetosférický parameter) a H(j) je samotný filter.
Vyvstáva otázka,
aké dodatočné, pre lineárnu analýzu neprístupné, informácie sa dajú ešte
z Obr. 1a, b vyčítať. Hlavne z Obr. 1b je vidieť, že na časovej škále subbúrok
a búrok (T>15 [min]) majú krivky parabolický tvar. Je možné modelovať multifraktálové
spektrá takéhoto tvaru pomocou tzv. nelineárneho P-modelu, daného vzťahom
(Halsey et al., 1986):
f(a) = - ((w-1) log2(w-1) - w log2w) / w (8)
kde w je voľný parameter. Tento
1D model v teórii turbulencie popisuje procesy, v ktorých tok energie
yL
, definovaný na úsečku dĺžky L, kaskádovite
prúdi do rozmerov 2xL/2, 4xL/4, ..., atď. V prvom kroku yL
je
rozdelený na čiastky yL .
p1 a yL . p2 medzi dve
úsečky dĺžky L/2 s pravdepodobnosťou p1 a p2, pričom p1+p2=1. V ďalších
krokoch sa rozdvojenie úsečiek opakuje. Celkový tok energie na každej ”škále”
NxL/2N sa nemení, ale na
každej individuálnej úsečke, dĺžky L/2N, je tok energie úmerný
istej multiplikatívnej kombinácii parametrov p1 a p2. Parameter p ?
p1=1-p2 určuje charakter prenosu energie
medzi škálami. Ak p=p1=p2=0.5 prenos energie je homogénny, kým p>0.5 generuje
výsledné pole, ktoré je intermitentné so spektrom singularít (a,f(a
); vzorce 7,8).
Na Obr. 1b je P-model parabolického tvaru.
Fitovaný parameter p má hodnotu 0.790 ±0.005
a je zvýraznený hrubšou čiarou v rovine (a,f(a
), T=0 resp. T=3000 [min]). Z obrázku je zrejmé
, že napriek jeho jednoduchosti, P-model je vhodným nástrojom pre modelovanie
energetických procesov na časovej škále subbúrok a búrok (T>15 [min]).
Na druhej strane procesy súvisiace s priamou disipáciou energie (T<15
[min]) sa nedajú opísať multiplikatívnym modelom prenosu energie.
Ďalšiu klasifikáciu
umožňujú malé odchýlky (a,f(a
)) kriviek od parabolického tvaru ako je to
znázornené na Obr. 1a. Odchýlky sa dajú vysvetliť uvažovaním viacerých
od seba nezávislých multiplikatívnych procesov (Radons and Stoop, 1996),
t.j. fyzikálne procesy, sú v princípe rozlíšitelné na základe ich spektier
singularít.
Najdôležitejší
záver aplikovania multifraktálového prístupu je však ten, že na rozdiel
od iných stochastických procesov, ktoré sa dajú charakterizovať jedným
singulárnym exponentom a,
na
adekvátny popis fluktuácií GMP je nutné zaviesť celé spektrum singularít.
3. NEURÁLNE SIETE AKO NELINEÁRNY MODEL
Predpovede magnetických búrok,
na základe parametrov slnečného vetra získaných satelitnými pozorovaniami,
sú jedným z dôležitých cieľov v rámci výskumu kozmického počasia.V našej
práci sme použili časové rady vlastností slnečného vetra, získané satelitom
ACE. Niektoré z týchto parametrov, hlavne
n,v, Bz kontrolujú veľkú časť geomagnetickej aktivity (n – koncentrácia
častíc slnečného vetra, v – rýchlosť slnečného vetra, Bz – severo-južná
zložka medziplanetárneho magnetického poľa ).
Počet riadiacich
parametrov môže byť aj väčší a vzhľadom na to, že nepoznáme ich počet a
vlastnosti, v prvom kroku, pomocou analýzy hlavných komponentov, sa pokúsime
určiť takú lineárnu kombináciu týchto parametrov, ktorá vysvetľuje najväčšiu
časť variácií slnečného vetra.
Hlavnou myšlienkou analýzy hlavných
komponentov je popis rozptylu p-bodov v N-dimenzionálnom priestore zavedením
nového súboru ortogonálnych lineárnych súradníc tzv.hlavných komponentov.
Prvý hlavný komponent je taký, kde projekcia daných bodov naň má maximum
variácie spomedzi všetkých možných
lineárnych súradníc, druhý komponent má maximum variácie v smere kolmom
na prvý atď. Geometrická interpretácia analýzy hlavných komponentov je
nasledovná. Hlavné komponenty predstavujú osi koncentrických elipsoidov
umiestnených v tažisku vzorky bodov. Tieto elipsoidy môžeme popísať kvadratickou
formou
_ _
kde c>0, S-kovariančná matica, X-matica
dát p x N (p-počet vzoriek, N-počet meraných parametrov) (Rayment
et al., 1996).
Výsledky tejto
analýzy sme použili pri modelovaní magnetických búrok, charakterizovaných
Dst indexom, pomocou nelineárnej metódy neurálnych sietí.
Model neurálnych
sietí (NN) je založený na schopnosti učiť sa vzťahy medzi vstupmi a výstupmi.
Použili sme multivrstvový model neurálnych sietí, ktorý predstavuje zobrazenie
Skladajú sa zo vstupnej vrstvy s N
vstupmi, jednej skrytej vrstvy s q jednotkami a jednej výstupnej
vrstvy s
m výstupmi. Výstup tohto modelu
možno vyjadriť ako
q N
[Norgaard, 1997], kde Wmj(a) sú váhy medzi j a m jednotkami vstupu a skrytej vrstvy a Wjl(b) váhy medzi skrytou vrstvou a výstupom. Aktivačná funkcia Fm(x) je lineárna a fj(x) nelineárna ( tu f(x)=tanh(x) ). Pre daný časový súbor s veľkosťou M definujeme normalizovanú strednú kvadratickú chybu
M
kde yout predstavuje skutočný – daný výstup a ypred výstup daný neurálnymi sieťami. Cieľom je minimalizácia NMSE výberom vhodných váh na základe metódy poklesu gradientu
M
a priemernou relatívnou variáciou ARV (Casdagli, 1998; Weigend et al., 1992)
M M
kde yout je nameraný výstup, youtmean je stredná
hodnota nameraného výstupu, ypred je predpovedaný výstup, ypredmean
je stredná hodnota predpovedaného výstupu.
Na analýzu sme
použili časové rady parametrov slnečného vetra získaných z ACE satelitu
a Dst indexu s rozlíšením Dt =
1 hod za obdobie 1998-1999. Vstupné časové rady sme normalizovali
pomocou
pca2 = - 0.24 Bz + 0.41 B + 0.46 v + 0.31 vB + 0.41 e (20)
Obr.2 a. Hlavný komponent pca1; b. pca2; c. normalizovaná kvadratická chyba; d. korelácia medzi indexom Dst a predpovedanou hodnotou Dst.
Obr.3 Ukážka predpovede Dst indexu
na jeden krok dopredu, t.j. 1 hod. , súvislá
čiara reprezentuje predpoveď
4. ZÁVER
Uvedené nelineárne
metódy prevyšujú lineárne postupy v tom zmysle, že poskytujú dodatočné,
pre lineárnu analýzu neprístupné informácie o fyzikálnych procesoch, zároveň
reprodukujú aj výsledky dosiahnuté pomocou lineárnych techník. Ich vhodná
kombinácia môže upresniť naše predstravy o dynamike magnetosféry.
POĎAKOVANIE
Práca bola pripravená v rámci projektu VEGA 2/6040/99.
LITERATÚRA
Akasofu, S. Chapman, S., Solar terrestrial physics, 1972,
Bargatze, L.F., Baker, D.N., McPherron, R.L., Hones, E.W., Magnetospheric
impulse response for many levels of
geomagnetic activity, J.Geophys.Res., 90,
6387, 1985,
Casdagli, M., Nonlinear prediction of chaotic time series, Physica
D, 35, 335, 1989,
Halsey, T.C., Kadanoff, J.M.H., Procaccia, L.P., Shraiman, B.I., Fractal
measures and their singularities, Phys.Rev.A, 33,
1141, 1986,
Hernandez, J.V., Tajima, T., Horton, W., Neural net forecasting for
geomagnetic activity, Geophys.Res. Lett., 20, 2707,
1993,
Jacobs, J.A., Geomagnetism, Vol. 3, 1989,
Muzy, J.F., Bacry, E., Arneodo, A., Multifractal formalism for fractal
signals, Phys.Rev.E, 47, 875, 1993,
Norgaard, M., Neural network based system identification toolbox, 1997,
Radons, G., Stoop, R., Superpositions of multifractals, J. Stat.
Phys., 82, 1063, 1996,
Reyment, R., Jöreskog, K.G., Applied factor analysis in the natural
sciences, 1996,
Rumelhart, D.E., Hinton, G.E., Williams, R.J., Learning representations
by back-propagating errors, Nature, 323,533, 1986,
Takalo, J., Timonen ,J., Neural network prediction of the AE index
from the PC index, Phys.Chem.Earth, 24, 89, 1999,
Takalo, J., Timonen, J., and Koskinen, H., Correlation dimension and
affinity of AE data and bicolored noise,
Geophys.Res.Lett., 20, 1527, 1993,
Tél, T., Fractals, multifractals and thermodynamics, Z. Naturforsch.,
43a, 1154, 1988,
Tsurutani, B.T., Sugiura, M., Iyemori, T., Goldstein, B.E., Gonzalez,
W.D., Akasofu, S.I., Smith, E.J., The nonlinear response of AE to the
IMF Bs driver, Geophys.Res. Lett.,17, 279, 1990,
Véhel, J.L. , Vojak, R., Multifractal analysis of Choquet capacities,
Adv. Appl. Math., 20(1), 1, 1998,
Vörös, Z., Multifractal analysis of geomagnetic data, Revista Geofisica,
48, 77, 1988,
Vörös, Z., On multifractality of high latitude geomagnetic fluctuations,
Ann. Geophysicae, In Press,
Weigend, A.S., Hubermand, B.A., Rumelhart, D.E., Predicting sunspots
and exchange rates with connectionist networks, in
Nonlinear Modeling and Forecasting, M.
Casdagli and S. Eubanks, EDs. (Addison-Wesley, 1992).