L. Pastorek, Slovenská ústredná hvezdáreň, Hurbanovo, pastorek @suh.sk
Z.Vörös, Geofyzikálny ústav SAV, Hurbanovo, geomag @geomag.sk

Abstrakt.
V práci analyzujeme 150 ročný časový rad denných hodnôt Wolfovho relatívneho čísla slnečných škvŕn metódou tzv. rekurencií. Táto nelineárna metóda umožňuje projekciu jednodi- menzionálneho časového radu do viacdimenzionálneho priestoru stavov. Pri vzniku slnečných škvŕn zohráva podstatnú úlohu interakcia premenného magnetického poľa s konvektívnymi pohybmi plazmy, pričom počet stupňov voľnosti týchto procesov je vo všeobecnosti neznámy. Analýza časových rekurencií vo viacdimenzionálnom priestore vedie k identifikácií časových štruktúr, ktoré sú z lineárnych charakteristík jednodimenzionálného časového radu slnečných škvŕn nedostupné.
 

1. ÚVOD

     Najznámejším prejavom meniacej sa úrovne aktivity Slnka je kváziperiodický výskyt slnečných škvŕn, charakterizovaný Wolfom zavedeným relatívnym číslom. Z dlhodobého pozorovania vieme, že tento časový rad kolíše v strednej perióde okolo 11 rokov. Detailné štúdium časovo-priestorového rozdelenia rôznych iných prejavov slnečnej aktivity viedlo k zisteniu, že v podstate všetky vykazujú 11. ročný periodický priebeh, ale v detailoch cyklu sa líšia. Z toho sa usúdilo, že by výskyt slnečných škvŕn nemusel byť určujúcim pre výskyt iných prejavov slnečnej aktivity. V dlhodobom časovom rade však môžu byť skryté informácie, ktoré sú pri analýze lineárnymi metódami nedostupné. Pri vzniku slnečných škvŕn podstatnú úlohu zohráva vzájomné pôsobenie premenného magnetického poľa a slnečnej plazmy, pričom počet stupňov voľnosti týchto procesov je vo všeobecnosti neznámy. Existuje matematická metóda tzv. Rekurentných polí (Recurrence plost), ktorá umožňuje vnorenie (embedding) jednodimenzionálneho časového radu do viacdimenzionálneho priestoru stavov. Metóda bola úspešne aplikovaná pri rôznych aj nelineárnych časových radoch ( napr. pri analýze fyziologických dát) a viedla k identifikácií časových štruktúr, ktoré sú z lineárnych charakteristík jednodimenzionálneho radu nedostupné. Túto metódu sme sa preto rozhodli aplikovať na súvislý 150 ročný Brusselský časový rad denných hodnôt relatívneho čísla slnečných škvŕn Ri. Zaujímali nás rôzne rekurentné časové štruktúry fluktnácií tohoto radu, preto sme sa snažili dlhodobú periodičnosť potlačiť vhodnou filtráciou.

2. METÓDA

     Podstata metódy rekurentných polí uspočíva v tom, že pomocou časového posunutia t vytvoríme z hodnôt jednodimenzionálneho časového radu dE dimenzionálny priestor stavov. Napr. pre dE = 3 to urobíme nasledovne:
1D: x(t)
2D: x1(t) ,x2(t)                kde x2(t) = x1(t + t)
3D: x1(t) ,x2(t), x3(t)       kde x2(t) = x1(t + t)
                                              x3(t) = x1(t +2t )
vo viacdimenzionálnom priestore každý bod predstavuje vektor. V 3D priestore bod y má súradnice:
y(1) = [ x1(1), x2(1), x3(1) ]
y( i ) = [ x1(i), x2(i), x3(i) ]

Vypočítame vzájomné vzdialenosti všetkých bodov fázového priestoru. Napr. vzdialenosť 1 bodu od i-teho je

Potom zavedieme farebný kód podľa magnitúdy vzdialenosti, t.j.rôzne vzdialenosti medzi jednotlivými bodmi rôzne vyfarbíme pri súradniciach (i,j.). Dostaneme farebné mapy -farebné rekurentné polia- rôzne pre rôzne časové rady. Na obr.č.1. sú znázornené rekurentné polia pre rôzne typy funkcií.Horná je sinusovka a jej odpovedajúce rekurentné obrázky pri zavedení rôzných kódov vyfarbenia. Z obidvoch obrázkov je viditeľná charakteris tická periodická štruktúra. Druhá je nelineárna funkcia – tzv.Lorentzov systém. Zodpovedajúce štruktúry v rekurentných poliach odzrkadlujú neperiodičnosť funkcie.

Obr. č.1. Rekurentné polia pre rôzne typy funkcií: a) sínusovka, b) nelineárna funkcia – tzv.Lorentzov systém.

Na obr.č.2 je znázornený takýto farebný rekurentný koberec pre dlhodobý časový rad relatívneho čísla slnečných škvŕn. Hoci čítanie takéhoto obrázku je na prvý pohľad dosť obťažné, vidieť z neho určitú periodičnosť a opakovanie sa rôznych časových štruktúr (napr. kvázijedenásťročný cyklus, sekulárnu variáciu dlžky ~80 rokov). Z obrázku je tiež vidieť jemnejšiu štrukturizáciu, ktorá môže byť spojená s dynamikou procesou odohrávajúcich sa v podfotosferickej vrstve. Trulka, Guiliami, Zbilut a Webber navrhli na kvantifikáciu štruktúr objavujúcich sa v rekurentných poliach kvantifikančnú analýzu nazývanú Recurrence Quantification Analysis – RQA. Tento algoritmus (softwér) vypočítava rôzne štatistické hodnoty (parametre) charakterizujúce skúmaný systém (% recurrence, % determinizmu, entropy, ratio, line max) a umožňuje identifikáciu nelineárnych časových štruktúr, periodičnosti (%rec.), predpovedateľnosti systémového stavu alebo jeho zmien (%det.), fázových prechodov (ratio) a nestability systémov.

Obr. č. 2. Rekurentný koberec (hore) pre dlhodobý časový rad relatívneho čísla slnečných škvŕn (dole). Spodný obrázok znázorňuje hornopriepustným filtrom upravené hodnoty relatívneho čísla.

3. POSTUP

     Spomínanú metódu RQA sme aplikovali na 150 ročný časový rad Wolfovho čísla slnečných škvŕn. Postupne sme menili vstupné riadiace parametre (časové posunutie t, dimenzia dE, šírka okna a pod.) a sledovali ako sa mení chod výsledných štatistických ukazovateľov. Nakoľko nás zaujímali rekurentné štruktúry fluktnácie tohoto radu, na pôvodný časový rad sme nasadili hornopriepustný filter typu

s časovým posunutím t' = 1,2; a s následným umocnením hodnôt, úmerným energii fluktuácií. Za účelom dosiahnutia stabilnejšieho chodu parametrov rekurencie sme ešte integrovali hodnoty v okne dlžky T dní.Takto upravený časový rad sme potom podrobili metóde RQA s riadiacimi parametrami:
časové posunutie t
dimenzia dE
šírka okna a jeho posun
rozlišovania schopnosť (interval, na ktorom je definovaná farebná škála)
     Vhodný výber dvoch parametrov, časového posunutia t a hodnoty unorenej (embedding) dimenzie dE je kritický pre úspešnosť metódy, resp. aby reproduktovaný viacdimenzionálny priestor stavov čo najviac odrážal dynamiku reálnych procesov. Existujú matematické metódy na výber optimálnych hodnôt t a dE. My sme vyberali parametre tak, aby výsledné štruktúry boli čo najviditelnejšie a pri štatistických parametroch nedochádzalo k rôznym saturáciám ( napr. 100% alebo 0% pri %rec. a %det.). Na obr.č.3 je znázornený časový chod štyroch vybraných štatistických parametrov, z  ktorých sa dá usudzovať na správanie sa systému. Vysoká hodnota %rec. hovorí, že fluktnácie sú vtedy periodickejšie. Vysoká hodnota %det. ukazuje na predpovedateľnosť systémového stavu alebo jeho zmien. V maxime cyklu je malá hodnota %det., čiže správanie sa systému je málo predpovedateľné. Hodnotu ratia dostaneme ako podiel %det a %rec. Spolu s dalším parametrom linemax (alebo trend) ktorého priebeh na obr.3 nie je znázornený ukazujú na nestacionárnosť v rekurentných poliach a je pomerne užitočný pri detekcii prenosov medzi fyziologickými stavmi. Jej nízkej hodnote zodpovedá stabilnejší stav, vysoká hodnota signalizuje fázový prechod, t. j. prechod systému z jedného stavu (režimu) do druhého. V našom prípade jej nízke hodnoty sú v minimách medzi cyklami, čiže pravdepodobne vtedy sa rozhoduje o vlastnostiach budúceho cyklu.

4. ZÁVER

     Odhadnuté parametre nám naznačujú, že metóda RQA nám umožňuje získavať o nelineárnej podstate dynamiky plazmových procesov informácie, ktoré sú neprístupné pre metódy lineárnej analýzy. Spektrálna analýza nám umožňuje pochopiť periodičnosť tvorby slnečných škvŕn, ale nám neumožňuje vysvetliť príčiny jej zmien (napr. rôznu dlžku jednotlivých cyklov, ich rôzne amplitúdy a pod.) Práce z tohto pohľadu sa metóda RQA ukazuje ako perspektívna.
 

LITERATÚRA
 

Eckman, J.-P., S.O. Kamphorst, and D. Ruelle. Recurrence plots of dynamical systems. Europhys. Lett. 4:973-977, 1987.
Trulla, L., A. Giuliani, J. Zbilut, and C. Webber. Recurrence quantification analysis of the logistic equation with transients.
     Physics Letters A, 223:255-260, 1996.
Webber, C.., and Zbilut J. Dynamical assessment of physiological systems and states using recurrence plot strategies.
     Journal of Applied Physiology, 76:965 – 973, 1994.
Zbillut, J. P., and C.L. Weber, Jr. Embeddings and delays aj derived from quantification of recurrence plots. Physics Lett. A
     171:199-203, 1992.