L. Kulčár, Katedra hospodárskej informatiky Ekonomickej fakulty, Univerzita M. Bela,
Banská Bystrica, Detašované pracovisko Poprad, kulcar @hotmail.com
 

Abstrakt
Práca je pokračovaním analýzy vzájomných štatistických závislostí medzi 11-ročnými cyklami slnečnej   aktivity publikovanej v zborníku zo 14. celoštátneho slnečného seminára z r. 1998. Vstupnými údajmi pre analýzu boli priemerné ročné hodnoty relatívnych čísel za obdobie rokov 1700 – 1996. Všetky 11-ročné cykly boli centrované
v čase na maximum cyklu. V analýze boli určované hodnoty asymetrie (šikmosti) a excesu (špicatosti) cyklov, na základe ktorých sa hľadala koncentrácia týchto hodnôt za účelom vytvorenia skupín (rodín) 11-ročných cyklov slnečnej aktivity.
 

1. ÚVOD

     M. Waldmeier (1968) navrhol metódu na predpovedanie veľkosti (mohutnosti) slnečného maxima a  časového momentu jeho nastúpenia, ktorá bola založená na analýze dovtedy dostatočne zdokumentovaných slnečných cyklov (až do cyklu č. 18). Výsledkom tejto analýzy bolo hlavne to, že po časovom zosúladení maxím slnečných cyklov (tzv. metóda naloženia epoch) sa ukázalo, že všetky krivky cyklov sa pretínali takmer v jednom bode na vzostupnej vetve v blízkosti relatívneho čísla R = 50. Časový interval medzi týmto bodom-priesečníkom a  maximom bol okolo 1,9 roku. Táto zistená vlastnosť bola základom pre vypracovanie celej metodiky na predpovedanie maxima a  tiež na určenie veľkosti cyklu v  maxime vyjadrenej relatívnym číslom R.
     Od tej doby (tak isto ako aj predtým) bolo vyvinuté veľké množstvo ďalších metód na predpovedanie priebehu slnečných cyklov. Denkmayr (1993) ukázal, že tzv. čisté štatistické metódy predpovedania slnečnej aktivity vykazujú určitú nepresnosť hlavne na vzostupnej vetve slnečného cyklu. Príčina toho je zrejme v tom, že samotné hodnoty relatívnych čísel, ku ktorým sa pristupuje v ďalšom spracovaní čisto iba ako ku štatistickým jednotkám bez akéhokoľvek fyzikálneho významu, neobsahujú dostatočné informácie o slnečnom dyname, ktoré pri generovaní slnečných škvŕn hrá zrejme dôležitú úlohu, aj keď ešte stále dostatočne nepoznanú. Preto v poslednej dobe nadobúdajú stále väčší význam a dosahujú aj dobré výsledky metódy založené na kombinácii štatistických metód a fyzikálnych vlastnostiach a vzájomných súvislostiach medzi rozličnými prejavmi slnečnej aktivity, napr. metóda tzv. prekurzorov, geomagnetických indexov, kombinovaná metóda a pod. (viď napr. Layden et al. (1991), Mayaud (1980)).

2. POUŽITÝ POZOROVACÍ MATERIÁL A METÓDA JEHO
    SPRACOVANIA

     V metóde predpovedania slnečných cyklov predloženej M. Waldmeierom (1968), ktorá poskytovala súradnice bodu-priesečníka všetkých kriviek známych slnečných cyklov takmer v jednom bode, sa neskúmalo, či jednotlivé krivky slnečných cyklov menili svoje parametre, ktorými mohli byť charakterizované, spojite alebo sa tieto parametre menili po určitých skokoch, resp. aké bolo rozdelenie ich parametrov. Toto vzá-jomné naloženie kriviek slnečných cyklov na spoločné maximum cykla bolo urobené grafickou metódou. Z hľadiska štatistickej analýzy to mohol byť do značnej miery pochopiteľný a zdôvodniteľný postup, pretože počet dovtedy známych slnečných cyklov použitých na štatistické uzávery bol nedostatočný (bolo analyzovaných18 cyklov). S odstupom času a s pribratím do analýzy aj tých slnečných cyklov, o ktorých boli zistené hodnoty priemerných ročných relatívnych čísel aj z obdobia rokov 1700 – 1749 a tiež doplnené o slnečné cykly od r. 1968 doteraz, sa súbor slnečných cyklov zvýšil z pôvodných 18 analyzovaných na 27 slnečných cyklov, ktoré sú v dnešnej dobe dostatočne známe.
     Okrem vyššie uvedených skutočností som v analýze tvarov kriviek slnečných cyklov použil charakteristiky, ktoré sa používajú v popisnej štatistike pri charakterizovaní tvarov rozdelenia početnotí – koeficient asymetrie (šikmosti) AS a koeficient špicatosti (exces) EX, čo umožnilo charakterizovať tvar slnečného cyklu kvantitatívne. Z toho dôvodu vyvstala otázka, aké je rozdelenie slnečných cyklov v tých ich významných parametroch, ktoré charakterizujú ich tvar hlavne z hľadiska ich asymetrie a excesu. Za tým účelom boli použité a spracované priemerné ročné napozorované (nie vyhladené) hodnoty relatívnych čísel R od r. 1700 do r. 1996 (Schmied, 1997, SIDC). K dispozícii bolo takto 27 úplných slnečných cyklov, pričom v takomto spôsobe číslovania slnečných cyklov cyklus č. 1 trval v rokoch 1700 – 1711 a cyklus č. 27 v rokoch 1986 – 1996. Podrobný popis metodiky výpočtu charakteristických koeficientov (koeficient asymetrie AS, koeficient špicatosti – exces EX) charakterizujúcich kvantitatívne tvar krivky slnečného cyklu dvoma parametrami a hodnoty podobnosti W medzi dvojicami slnečných cyklov je uvedený v práci zo 14. celoštátneho slnečného seminára (Kulčár, 1999), kde boli publikované aj hodnoty podobnosti W pre všetky vzájomné dvojice cyklov č. 1 až 27. V tejto práci sa zameriame hlavne na dva parametre – asymetriu a exces.

• Koeficient asymetrie AS je definovaný ako:

kde m _x,3 je tretí centrálny moment premennej x, pričom preň platí:

 m _{x,3 =} S (x_i -` x)³n_i/n. (2)

Ak je hodnota koeficientu asymetrie kladná, jedná sa o ľavostranne zošikmené rozdelenie, ak je AS = 0, rozdelenie je symetrické vzhľadom k  svojmu maximu a v prípade zápornej hodnoty koeficientu asymetrie AS sa jedná o pravostranne zošikmené rozdelenie.

• Koeficient špicatosti (exces) EX je definovaný ako:

 kde m_x,4 je 4. centrálny moment premennej x, pričom preň platí:

  m _{x,4 =} S (x_i -` x)⁴n_i/n. (4)

Vo vzťahoch (1) až (4) je význam veličín nasledovný:

n - rozsah štatistického súboru,

n_i – váhy pre jednotlivé hodnoty premennej x,

` x - aritmetický priemer hodnôt x_i,

s_x - štandardná odchýlka štatistického súboru premennej x. Pre náš prípad treba uviesť, že napriek tomu, že slnečné cykly možno z hľadiska štatistiky zaradiť skôr do kategórie časových radov, použili sme na matematický popis ich tvarov štatistický aparát používaný na charakterizovanie rozdelenia početností. Použitie tohto postupu bolo oprávnené matematickým abstrahovaním od fyzikálneho významu relatívnych čísel slnečných škvŕn, pričom ako váhy n_i vystupovali priemerné ročné hodnoty relatívnych čísel v jednotlivých rokoch. Takto bola daná príslušnému roku v 11-ročnom cykle tým vyššia váha, čím vyššia hodnota R bola v ňom napozorovaná. Vo význame premennej x vystupovali roky v rámci každého 11-ročného slnečného cyklu, pričom počítanie rokov bolo zavedené tak, že roku, kedy nastalo maximum cyklu bola priradená hodnota premennej x = 0, rokom pred maximom boli priradené hodnoty premennej x záporné a rokom po maxime hodnoty premennej x kladné s krokom jedného roku.

3. ZÍSKANÉ VÝSLEDKY A ICH DISKUSIA

     Na základe vzťahov (1) až (4) boli určené koefienty asymetrie AS a exces EX pre slnečné cykly č. 1 až 27 pre roky 1700 – 1996. Ukázalo sa, že hodnoty AS boli v prevažnej miere kladné (v 25 prípadoch) a iba v dvoch prípadoch pre cykly č. 6 a 12 mali zápornú hodnotu: AS ₆= - 0,03 a  AS₁₂ = - 0,21. Z týchto získaných údajov vyplýva, že tvary kriviek slnečných cyklov sú ľavostranne zošikmené. Tento výsledok potvrdzuje v podstate známy fakt, že vzostupná vetva slnečného cyklu je časovo kratšia ako zostupná vetva. Pre v podstate doteraz iba jeden známy prípad slnečného cyklu č. 12 (ak hodnotu AS cyklu č. 6 možno v dôsledku určitých nepresností súvisiacich so získavaním relatívnych čísel v rokoch 1749 – 1767 považovať skôr za hodnotu oscilujúcu okolo nuly), ktorý vykazuje výraznejšiu pravostrannú asymetriu, nemáme adekvátne fyzikálne vysvetlenie.
     Pri posudzovaní asymetrie kriviek slnečných cyklov možno konštatovať, že 12 slnečných cyklov ( cykly č. 1, 3 až 7, 10 až 12, 14, 19, 21) možno zaradiť medzi cykly s malou hodnotou asymetrie (kedy pre koeficient asymetrie platí: |AS| 0,25), 9 slnečných cyklov (č. 2, 15, 17, 20, 22, 23, 25, 26, 27) vykazuje strednú asymetriu (kedy pre koeficient asymetrie platí: 0,25 < |AS| < 0,5) a 6 slnečných cyklov (č. 8, 9, 13, 16, 18, 24) možno zaradiť medzi krivky s veľkou asymetriou (ak |AS| 0,5). Uvedená asymetria je zrejmá aj z grafických priebehov jednotlivých kriviek 11-ročných slnečných cyklov.
     Pri posudzovaní špicatosti kriviek slnečných cyklov vzhľadom k  normálnemu rozdeleniu pomocou excesu možno konštatovať, že všetky krivky slnečných cyklov možno charakterizovať ako ploché (ak EX 0,5). V 4 prípadoch (slnečné cykly č. 2, 6, 7 a 15) sú cykly oveľa plochšie ako normálne rozdelenie (ak EX -0,5) a  vo všetkých ostatných 23 prípadoch sa krivky slnečných cyklov blížia špicatosťou k normálnemu rozdeleniu (ak – 0,5 < EX Ł 3), pričom 22 slnečných cyklov má krivky priebehov relatívnych čísel plochšie ako normálne rozdelenie (hodnota EX < 0) a iba jeden slnečný cyklus (č. 16) je špicatejší ako normálne rozdelenie (keď EX > 0) s hodnotou EX = 0,36. Podľa tejto klasifikácie nemožno ani jeden cyklus charakterizovať podľa tvaru krivky ako značne špicatý (kedy EX > 3). Na rozdiel od asymetrie, v prípade excesu pri porovnaní grafických priebehov kriviek slnečných cyklov s  kvantitatívnou charakteristiou ich špicatosti by sme snáď očakávali väčšiu variabilitu v špicatosti, čo však súvisí s pomerne veľkými hodnotami štandardných odchýliekhodnôt štatistického znaku pri jednotlivých slnečných cykloch. Podobne ako pre prípad výnimočnej pravostrannej asymetrie slnečného cyklu č. 12, tak ani pre jediný známy prípad slnečného cyklu č. 16, ktorý je špicatejší ako normálne rozdelenie, nemáme adekvátne fyzikálne vysvetlenie.
     Za účelom ďalšej analýzy uvedených dvoch parametrov sme roztriedili slnečné cykly do tried, čo je podľa hodnoty AS uvedené v tabuľke č. 1 a podľa hodnoty EX v tabuľke č. 2.
 

ASi	ni
- (-0,1)	1
- 0,1	4
- 0,3	8
- 0,5	9
- 0,7	5

Tab. 1.: Tabuľka udávajúca rozdelenie slnečných cyklov (triedne početností n_i) do tried podľa hodnôt koeficientu asymetrie AS_i (i – poradové číslo triedy).
 
 

EXi	ni
- (-0,4)	5
- (-0,3)	5
- (-0,2)	6
- (-0,1)	6
(-0,1) +	5

Tab. 2.: Tabuľka udávajúca rozdelenie slnečných cyklov (triedne početnosti n_i) do tried podľa hodnôt excesu EX_i (i – poradové číslo triedy).

     Triedenie slnečných cyklov do tried podľa oboch znakov bolo uskutočnené na základe pravidla pre počet tried v závislosti od počtu n štatistických jednotiek (počet tried ) v štatistickom súbore. Z uvedeného vyplýva, že pri takomto triedení je počet tried o jednu triedu vyšší ako v prípade Waldmeiera, ktorý použil na analýzu 18 slnečných cyklov.
     Na základe triednych početností uvedených v  tabuľke č. 1 by sme mohli s  určitou pravdepodobnosťou vysloviť hypotézu o  určitom nerovnomernom (najpravdepodobnejšie normálnom) rozdelení slnečných cyklov do tried. Naopak, na základe tabuľky č. 2 možno vysloviť hypotézu o rovnomernom rozdelení slnečných cyklov do tried podľa excesu. Za tým účelom sme testovali vyššie uvedené hypotézy na hladine významnosti 5, resp. 10 percent.
     Zámer testovať hodnoty koeficientu asymetrie AS podľa testu zhody dvoch rozdelení, pričom za teoretické rozdelenie, s ktorým by sa porovnávalo nami získané rozdelenie hodnôt AS by bolo považované normálne rozdelenie, sa nedalo uskutočniť z dôvodu malého počtu vstupných údajov. Preto sme v ďalšom testovali obe rozdelenia aplikáciou Kolmogorovov-Smirnovovho testu pre jeden výber na zhodu rozdelenia excesu s  rovnomerným a  zhodu rozdelenia asymetrie s normálnym rozdelením.
     V  prípade testovania zhody rozdelenia špicatosti s rovnomerným rozdelením test na hladine významnosti 5 percent potvrdil, že sa jedná o rovnomerné rozdelenie. V prípade hodnôt asymetrie v  dôsledku malého počtu štatistických jednotiek v  štatistickom súbore nám test na hladine významnosti neposkytoval jednoznačné uzávery o zhode rozdelenia hodnôt asymetrie s normálnym, resp. s rovnomerným rozdelením, pričom na hladine významnosti 10 percent možno vysloviť hypotézu, že rozdelenie asymetrie slnečných cyklov je zhodné s normálnym rozdelením. Z uvedeného vyplýva, že sa nepreukázala štatisticky významná prítomnosť viacvrcholového rozdelenia ani hodnôt asymetrie AS a taktiež ani hodnôt špicatosti EX. S vysokou pravdepodobnosťou ( 95, resp. 90 percent) možno prijať tvrdenie, že rozdelenie excesu pre všetky slnečné cykly je rovnomerné z   intervalu hodnôt (-0,6; 0,4) s priemernou hodnotou EX = - 0,24 a rozdelenie koeficientov asymetrie pre všetky slnečné cykly je zhodné s rozdelením normálnym s hodnotami z intervalu (- 0,3; 0,7) s priemernou hodnotou AS = 0,28. Z oboch uvedených výsledkov možno urobiť uzáver, že neexistuje štatisticky výrazná koncentrácia na jednej alebo viacerých hodnotách ani u jedného z parametrov. Pre oba uvedené parametre teda platí, že v rozsahu svojho variačného rozpätia sa tieto hodnoty nemenia skokom, čo ďalej indikuje uzáver, že  nebude možné rozdeliť na základe týchto parametrov slnečné cykly do niekoľkých rodín (skupín), ktoré by boli charakteristické niekoľkými málo diskrétnymi hodnotami, okolo ktorých by sa sústreďovali krivky slnečných cyklov s malým rozptylom.
     Tvary kriviek slnečných cyklov sa dajú popísať či už analytickými funkciami v závislosti od času alebo pomocou niekoľkých charakteristických parametrov viacerými spôsobmi. Na porovnanie uvádzame, že naše výsledky získané pre hodnoty asymetrie pomocou koeficientu asymetrie AS sú v dobrej zhode s hodnotami asymetrie založenými na definovaní asymetrie slnečných cyklov podľa Gleisberga (1952) vzťahom ? = T_A/T_D (T_A – dĺžka vzostupnej vetvy, T_D - dĺžka zostupnej vetvy slnečného cyklu), pričom koeficient korelácie medzi nimi má hodnotu r = -0,8 (záporná hodnota súvisí s definovaním ľavostrannej asymetrie ako kladnej).
     Typ asymetrie je zahrnutý aj v  typoch slnečných cyklov, do ktorých roztriedil slnečné cykly Kuklin (viď napr. Vitinskij et al., 1986). Vzájomná súvislosť medzi koeficientom asymetrie AS a typom je zrejmá z tabuľky č. 3, v ktorej je zahrnutých 22 slnečných cyklov (cykly č. 6 - 27).
 

AS	Typy slnečných cyklov (podľa Kuklina)
- (-0,1)	C
- 0,1	C,C
- 0,3	B, B, B, C, B, B
- 0,5	A, D, D, A, D, A, B, B
- 0,5 +	D, D, C, A, B

Tab. 3.: Súvislosť medzi typom slnečných cyklov podľa  Kuklina a koeficientom asymetrie AS.

Z tabuľky č. 3 je zrejmá určitá súvislosť medzi typmi A a D, ktorých hodnoty asymetrie AS sú vysoké, zatiaľčo typ C má spravidla hodnoty asymetrie nízke, resp. záporné (prípadná pravostranná asymetria) a  typ B je typom s  ľavostranne strednou asymetriou AS. Typy, ktoré zaviedol Kuklin a iní na zatriedenie slnečných cyklov, nie sú založené iba na jednom parametre, napr. koeficiente.Z uvedného je zrejmé, že na kvantitatívny popis tvarov kriviek slnečných cyklov je vhodné použiť viac parametrov okrem koeficientu asymetrie a koeficientu špicatosti.

POĎAKOVANIE

Autor ďakuje P. Cugnonovi (SIDC, Brusel) a A. Öktenovi (Istanbul University) za umožnenie prístupu k údajom o slnečnej aktivite a hodnotné rady a pripomienky, ktoré značnou mierou prispeli ku vzniku tejto práce.

Táto práca bola vykonaná v rámci grantu VEGA č. 1/2202/95 Časovo-priestorová analýza škvrnotvornej aktivity Slnka a jej prognózy.

LITERATÚRA

Denkmayr, K.: 1993, On long-term predictions of solar activity, Diplomová práca, Univerzita Linz.
Gleisberg, W.: 1952, Die Haufigkeit der Sonnenflecken, Berlin, 91 p.
Kulčár, L.: 1999, Zborník zo 14. celoštátneho slnečného seminára, Stará Lesná 1998, SÚH Hurbanovo, 58.
Layden, A. C., Fox, P. A., Howard, J. M., Sarajedini, A., Schatten, K. H., Sofia, S.: 1991, Solar Phys. 132, 1.
Mayaud, P. N.: 1980, Geophysical Monograph No. 22, American Geophys. Union.
Schmied, L.: 1997, Štatistické a  grafické prehľady slnečnej činnosti od roku 1610, SÚH Hurbanovo.
SIDC: http://www.oma.be
Vitinskij, J.I., Kopecký, M., Kuklin, G.V.: 1986, Statistika pjatnoobrazovateľnoj dejateľnosti Solnca, Nauka, Moskva, pp.
     296 (p.201).
Waldmeier, M.: 1968, Astr. Mitt. Sternw. Zurich 286, 13.